パラボリック・パズル

自作パズル集。

Parabolic Puzzles

長方形をつかまえる

平面\mathbb{R}^2の部分集合Sで、次の2条件を満たすものは存在するか?

Sの相異なる2元は距離1以上離れている

・ある定数Cが存在し、辺が軸に平行な面積C以上の長方形は必ずSの元を含む

共有知識

A,B,Cの3人が次のようなゲームをしました.まずゲームマスターが3つの帽子に30, 2018, 2048と書き込み,この順にA,B,Cにかぶせます.ゲームマスターは全員の前でこう告げます:

「帽子には全て正の整数が書かれています.それから,帽子に書かれた数のうち最大のものは,残りの2つの数の和になっています.」

3人は自分以外の人の帽子は見えますが,自分の帽子は見えません.次にゲームマスターはA,B,Cの順に「自分の帽子に書かれた数がわかりますか?」と尋ねます.全員が続けて「わからない」と答えたら,再びA,B,Cの順に同じことを尋ねます.

最初に自分の帽子に書かれた数字がわかるのは3人のうち誰で,それはその人への何回目の質問のときでしょうか.

 

ただし参加者全員は十分に明晰で,嘘をつくこともないとし,発言は全員に聞こえるものとします.

2018

このパズルには不備がありました.改題したものをリンク先に掲載しています.

parabolic-puzzles.hatenadiary.jp

 

 

 

 

 

A,B,Cの3人が次のようなゲームをしました.まずゲームマスターが3つの帽子に数を書き込み,3人に被せます.ゲームマスターは全員の前でこう告げます:

「帽子には全て正の整数が書かれています.それから,帽子に書かれた数のうち最大のものは,残りの2つの数の和になっています.」

3人は自分以外の人の帽子は見えますが,自分の帽子は見えません.次にゲームマスターはA,B,Cの順に「自分の帽子に書かれた数がわかりますか?」と尋ねます.全員が続けて「わからない」と答えたら,再びA,B,Cの順に同じことを尋ねます.

すると,35周目(質問は全部で105回)までは全員が「わからない」と答えましたが,36周目,107回目の質問で,ついにBが次のように答えました.

B「わかりました.私の帽子に書かれた数は2018です.」

AとCの帽子に書かれていた数の組としてあり得るものを全て求めてください.

 

ただし参加者全員は十分に明晰で,嘘をつくこともないとし,会話は全員に聞こえるものとします.

広告を非表示にする

冪集合の塗り分け

\{1,2,\dots,n\}の空でない部分集合全体が、次の2つの条件を満たすように赤と青で塗り分けられている。
1. 交わらない同色の2集合の和集合は赤で塗られている。
2. 全体集合は青で塗られている。

あり得る塗り分け方は全部で何通りあるか。

並べ替え

飛鳥くんの趣味は1からnまでの整数を並べ替えることです.飛鳥くんは休日のたびに整数の並べ替えをしているので,もう普通の並べ替え方には飽きてしまいました.そこで1からnまでの整数の書かれたボールを使って並べ替えを作るという遊びを思いつきました.

具体的には,まず書かれた数の小さい順にボールを円周上に反時計回りに並べます.このとき2つのボールがちょうど反対側に来ることがないように注意します.こうして得られた初期配置は毎回同じものを用いることにします.

次に「ボールを取って円周のちょうど反対側に移動させる」という操作を何回か行います.最後に1から順に反時計回りに読むことで並べ替えが得られます.

この方法で飛鳥くんが得ることのできる並べ替え方は,全部で何通りあるでしょうか?

f:id:fibonacci_freak:20171104141404p:plain

中点

平面上の一般の位置に3つの点が描かれている.次の操作を考える:

【操作】すでに描かれている2つの点を選び,その中点を描く.すでに中点も描かれている場合は何もしない.

n回以下の操作で描くことのできる点の位置は,最初の3点を含めて何箇所あるか.

広告を非表示にする

ビリヤード

(このパズルは箱(@o_ccah)さんから教えていただきました.)

 

平面上で質量の等しい4つの小球がそれぞれ等速直線運動している.ただし小球の大きさは無視できるとし,小球どうしは弾性衝突するものとする.小球が5回衝突したならば,必ずもう1回衝突することを示せ.