パラボリック・パズル

自作パズル集。

Parabolic Puzzles

冪集合の塗り分け

\{1,2,\dots,n\}の空でない部分集合全体が、次の2つの条件を満たすように赤と青で塗り分けられている。
1. 交わらない同色の2集合の和集合は赤で塗られている。
2. 全体集合は青で塗られている。

あり得る塗り分け方は全部で何通りあるか。

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並べ替え

飛鳥くんの趣味は1からnまでの整数を並べ替えることです.飛鳥くんは休日のたびに整数の並べ替えをしているので,もう普通の並べ替え方には飽きてしまいました.そこで1からnまでの整数の書かれたボールを使って並べ替えを作るという遊びを思いつきました.

具体的には,まず書かれた数の小さい順にボールを円周上に反時計回りに並べます.このとき2つのボールがちょうど反対側に来ることがないように注意します.こうして得られた初期配置は毎回同じものを用いることにします.

次に「ボールを取って円周のちょうど反対側に移動させる」という操作を何回か行います.最後に1から順に反時計回りに読むことで並べ替えが得られます.

この方法で飛鳥くんが得ることのできる並べ替え方は,全部で何通りあるでしょうか?

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中点

平面上の一般の位置に3つの点が描かれている.次の操作を考える:

【操作】すでに描かれている2つの点を選び,その中点を描く.すでに中点も描かれている場合は何もしない.

n回以下の操作で描くことのできる点の位置は,最初の3点を含めて何箇所あるか.

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ビリヤード

(このパズルは箱(@o_ccah)さんから教えていただきました.)

 

平面上で質量の等しい4つの小球がそれぞれ等速直線運動している.ただし小球の大きさは無視できるとし,小球どうしは弾性衝突するものとする.小球が5回衝突したならば,必ずもう1回衝突することを示せ.

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階段ゲーム

n段の階段を使って,AくんとBさんが次のようなゲームをする.

・まずAくんが階段の面(一番上と一番下の床は含まない)を1段ずつ白か黒で塗り分ける.

・次にBさんは階段を1段ずつ上る.ただしBさんは人間なので,右足と左足を交互に使うとする.

・Bさんが階段を上り終えた時,右足と左足で踏んだ黒い段の数が等しければBさんの勝ち,そうでなければAくんの勝ちである.

しかしこのままではAくんが必ず勝てるクソゲーであることに気づいたBさんは怒ってしまった.そこで2人は次のようなルールを追加した.

・Bさんは1段とばしをk回まで使ってよい.

Bさんが必ず勝てるようなkの最小値を求めよ.

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【解答】Lv.4 内角の分散

問題. 円周上に無作為に3点を取り三角形を作る。内角(rad)の分散の期待値を求めよ。

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Lv.4 内角の分散

円周上に無作為に3点を取り三角形を作る。*1内角(rad)の分散の期待値を求めよ。

*1:弧長あたりの確率が一定になるようにする。

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