Lv.5 車

平面上の原点から軸正方向に車が出発する。この車は悪霊に取り憑かれており、長さ進むごとに左右どちらかに曲がらなければならない。ある点（は整数）にお祓いポイントがあり、からへと車が移動するとお祓いができるので、そのように制御したい。これが可能であるためのの必要十分条件を求めよ。

Lv.7 城(2)

（Lv.4「城」とは独立の問題です。）

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飛鳥王国にはいくつかの街があり、どの2つの街の間にも一方通行の道が1つずつある。

飛鳥王は街に城を築いたが、王のこだわりにより、街からは道を辿ってどの街にも行けるようになっている。

このとき実は、街から出発して全ての街を1回ずつ訪れるルートがある。このことを証明せよ（ただしルートは城のある街に戻ってくる必要は無い）。

Lv.8 素数グラフ

飛鳥君は次の手順でグラフを作る。

(1)正整数を選ぶ。

(2)からまでの整数の中からいくつかを選び、それらを頂点とする。

(3)がと互いに素であるようなを全て辺で結ぶ。

うまく数を選べば、飛鳥君は任意の長さのループが作れることを示せ。

Lv.4 城

飛鳥王国にはいくつかの街があり、どの2つの街の間にも一方通行の道が1つずつある。

飛鳥王はどこかの街に城を築きたいが、城のある街からは道を辿ってどの街にも行けるようにしたい（城に戻ってこられる必要は無い）。

城を築く候補になる街はいくつあるかわからないが、ちょうど2つになることはない。このことを証明せよ。

Lv.6 PARABOX

「PARABOX」は高性能な故障検知装置です。

ランプのついた本体からは沢山のコードが伸びています。コードを1つ以上の機械に接続して指を鳴らすと電源が入り、繋いだ先の機械の中に故障品が1つ以上あるとランプがつきます。手を叩くと電源が切れます。電源が入っている間はコードを繋ぎかえることはできません。

困ったことにPARABOX自体も故障することがあり、故障するとランプのON/OFFが逆になってしまいます。そこでPARABOX自体にもPARABOXを接続できるよう、沢山の差し込み口が付いています。

あなたの仕事は、与えられた個のPARABOXの中から故障品を全て突き止めることです。何回指を鳴らせば確実に全て突き止められるでしょうか？

ただし全てのPARABOXが故障していることはないとします。

Lv.3 φ(n!)

の値を求めよ。ただしは「以下でと互いに素な正整数の個数」を表す。

Lv.1 斜めの正方形

の正方形の各辺をに分割し、図のように線で結んだとき、斜線部分の面積を求めよ。ただしこの問題は小学生になったつもりで、三平方の定理を用いない解法を考えよ。