Lv.4 鍵
飛鳥くんの家のドアには個の鍵穴がついており、それぞれ鍵を入れて回すと開閉を切り替えることができる。しかし飛鳥くんは記憶能力が著しく低いので、それぞれどちらに回すと開くかなど覚えていない。飛鳥くんは防犯意識が高いので、これらの鍵の中からいくつかを閉めてセミナーに出かけて行った。もちろんどれか一つは閉まっているようにした。
圧倒的なセミナーを終えて家に帰ってきた飛鳥くんは、案の定どの鍵を閉めたか忘れてしまった。仕方ないので飛鳥くんは次の一連の操作を繰り返して総当たりすることにした。
(1) 一つの鍵を選び、その開閉を切り替える。
(2) 開くかどうか試す。開かなかったら(1)に戻る。
どんな閉め方でも必ず回の操作で開けられるようなの最小値を求めよ。
Lv.6 じゃんけん
人で輪になって、次のルールに従って何回もじゃんけんをした。
・最初は無作為な手を出す。
・2回目以降は、「直前に隣の2人が出した手と合わせるとあいこになるような手」を出す。例えば隣がグーとチョキなら次の回はパーを出す。
すると最初は何人かの手の出し方が変化したが、暫く続けると全員の手の出し方が変わらなくなった。
としてあり得る数を全て求めよ。
Lv.7 城(2)
(Lv.4「城」とは独立の問題です。)
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飛鳥王国にはいくつかの街があり、どの2つの街の間にも一方通行の道が1つずつある。
飛鳥王は街に城を築いたが、王のこだわりにより、街からは道を辿ってどの街にも行けるようになっている。
このとき実は、街から出発して全ての街を1回ずつ訪れるルートがある。このことを証明せよ(ただしルートは城のある街に戻ってくる必要は無い)。
Lv.8 素数グラフ
飛鳥君は次の手順でグラフを作る。
(1)正整数を選ぶ。
(2)からまでの整数の中からいくつかを選び、それらを頂点とする。
(3)がと互いに素であるようなを全て辺で結ぶ。
うまく数を選べば、飛鳥君は任意の長さのループが作れることを示せ。