パラボリック・パズル

自作パズル集。

Parabolic Puzzles

階段ゲーム

n段の階段を使って，AくんとBさんが次のようなゲームをする．

・まずAくんが階段の面（一番上と一番下の床は含まない）を1段ずつ白か黒で塗り分ける．

・次にBさんは階段を1段ずつ上る．ただしBさんは人間なので，右足と左足を交互に使うとする．

・Bさんが階段を上り終えた時，右足と左足で踏んだ黒い段の数が等しければBさんの勝ち，そうでなければAくんの勝ちである．

しかしこのままではAくんが必ず勝てるクソゲーであることに気づいたBさんは怒ってしまった．そこで2人は次のようなルールを追加した．

・Bさんは1段とばしをk回まで使ってよい．

Bさんが必ず勝てるようなkの最小値を求めよ．

【解答】Lv.4 内角の分散

解答

問題. 円周上に無作為に3点を取り三角形を作る。内角(rad)の分散の期待値を求めよ。

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答え   \dfrac{\pi^2}{18}

解説   円の半径は1としてよい。内角の大きさを\theta_1,\theta_2,\theta_3とすると内角の分散は

\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{3}-\left(\dfrac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{3}\right)^2\\=\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{9}.

よって答えは\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{3}の期待値Eを用いてE-\dfrac{\pi^2}{9}と表せる。円周角の定理より頂点間の弧の長さは2\theta_1,2\theta_2,2\theta_3である。ここで円周上に無作為に2点追加したとき、同じ弧の中に入る確率は

\left(\dfrac{2\theta_1}{2\pi}\right)^2+\left(\dfrac{2\theta_2}{2\pi}\right)^2+\left(\dfrac{2\theta_3}{2\pi}\right)^2\\=\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{\pi^2}.

よってEは「円周上に無作為に5点とった時、最後にとった2つが隣接している確率」をPとしてE=\dfrac{\pi^2P}{3}と表せる。P=\dfrac{5}{\binom{5}{2}}=\dfrac{1}{2}なので答えは

\dfrac{\pi^2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi^2}{9}=\dfrac{\pi^2}{18}.

Lv.6 国際交流

組み合わせ Lv.6

n人の日本人とn人のアメリカ人が交互に並んで輪になって、次のようなゲームを行なった(n\geq 2)。

(1) 最初に全員で一斉に好きな整数を叫ぶ（英語で！）。

(2) 次に再び一斉に整数を叫ぶが、日本人は両隣のアメリカ人が直前に叫んだ数のうち小さい方を叫ぶ。アメリカ人は両隣の日本人が直前に叫んだ数のうち大きい方を叫ぶ。

(3) (2)を繰り返す。

すると何回か叫んだところで全員が同じ数を叫ぶようになった。

このとき実は、最初に叫んだ数が半数以上の人の間で等しかったことを示せ。

Lv.4 鍵

Lv.4 組み合わせ

飛鳥くんの家のドアにはn個の鍵穴がついており、それぞれ鍵を入れて回すと開閉を切り替えることができる。しかし飛鳥くんは記憶能力が著しく低いので、それぞれどちらに回すと開くかなど覚えていない。飛鳥くんは防犯意識が高いので、これらの鍵の中からいくつかを閉めてセミナーに出かけて行った。もちろんどれか一つは閉まっているようにした。

圧倒的なセミナーを終えて家に帰ってきた飛鳥くんは、案の定どの鍵を閉めたか忘れてしまった。仕方ないので飛鳥くんは次の一連の操作を繰り返して総当たりすることにした。

(1) 一つの鍵を選び、その開閉を切り替える。

(2) 開くかどうか試す。開かなかったら(1)に戻る。

どんな閉め方でも必ずm回の操作で開けられるようなmの最小値を求めよ。

 

Lv.6 じゃんけん

Lv.6 組み合わせ

n(\geq3)人で輪になって、次のルールに従って何回もじゃんけんをした。

・最初は無作為な手を出す。

・2回目以降は、「直前に隣の2人が出した手と合わせるとあいこになるような手」を出す。例えば隣がグーとチョキなら次の回はパーを出す。

すると最初は何人かの手の出し方が変化したが、暫く続けると全員の手の出し方が変わらなくなった。

nとしてあり得る数を全て求めよ。

Lv.6 プラニア

Lv.6 組み合わせ

プラニアはxy平面に棲む生き物である。プラニアはx軸、y軸に平行な4方向しか向くことができない。「前」「後ろ」「左」「右」と声をかけると、プラニアは前を向いたまま（各々にとっての）前後左右に一斉に1だけ平行移動する。また2匹以上のプラニアが同じ所に止まるとそれらは消滅する（動いている間はすれ違う）。

いま平面上の相異なるいくつかの格子点にプラニアが配置されている。どのような配置であっても、最初に各プラニアの向きをうまく変え、適切な順番で声をかければ、プラニアを2匹以下に減らせることを示せ。

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