パラボリック・パズル

自作パズル集。

Parabolic Puzzles

【解答】Lv.4 内角の分散

解答

問題. 円周上に無作為に3点を取り三角形を作る。内角(rad)の分散の期待値を求めよ。

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答え   \dfrac{\pi^2}{18}

解説   円の半径は1としてよい。内角の大きさを\theta_1,\theta_2,\theta_3とすると内角の分散は

\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{3}-\left(\dfrac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{3}\right)^2\\=\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{9}.

よって答えは\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{3}の期待値Eを用いてE-\dfrac{\pi^2}{9}と表せる。円周角の定理より頂点間の弧の長さは2\theta_1,2\theta_2,2\theta_3である。ここで円周上に無作為に2点追加したとき、同じ弧の中に入る確率は

\left(\dfrac{2\theta_1}{2\pi}\right)^2+\left(\dfrac{2\theta_2}{2\pi}\right)^2+\left(\dfrac{2\theta_3}{2\pi}\right)^2\\=\dfrac{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}{\pi^2}.

よってEは「円周上に無作為に5点とった時、最後にとった2つが隣接している確率」をPとしてE=\dfrac{\pi^2P}{3}と表せる。P=\dfrac{5}{\binom{5}{2}}=\dfrac{1}{2}なので答えは

\dfrac{\pi^2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi^2}{9}=\dfrac{\pi^2}{18}.