並べ替え

飛鳥くんの趣味はからまでの整数を並べ替えることです．飛鳥くんは休日のたびに整数の並べ替えをしているので，もう普通の並べ替え方には飽きてしまいました．そこでからまでの整数の書かれたボールを使って並べ替えを作るという遊びを思いつきました．

具体的には，まず書かれた数の小さい順にボールを円周上に反時計回りに並べます．このとき2つのボールがちょうど反対側に来ることがないように注意します．こうして得られた初期配置は毎回同じものを用いることにします．

次に「ボールを取って円周のちょうど反対側に移動させる」という操作を何回か行います．最後に1から順に反時計回りに読むことで並べ替えが得られます．

この方法で飛鳥くんが得ることのできる並べ替え方は，全部で何通りあるでしょうか？